动量空间中的奇点在拓扑物理学中起着重要作用。例如，三维系统中存在于动量空间中的外尔点是两能带系统线性相交的二重简并点，其拥有量子化的陈拓扑不变量，可被视为动量空间中的磁单极子。基于陈拓扑数的手征性质，外尔点在外界磁场下表现出量子化的朗道能级特征，并拥有无间隙的手征朗道零模式，此类手征零模式是外尔点手征异常和负纵向磁阻的主要来源。
考虑到五维动量空间中四重简并的杨单极子点可以视为外尔点向高维空间的拓展，且拥有量子化的第二陈拓扑不变量，讨论其与高维规范场的相互作用其实是三维体系的自然推广。但是，由于数学理论上的复杂性性和在空间维度限制，这些超越低维系统的丰富拓扑特征并未得到系统性讨论与实验验证。
（1）五维规范场下杨单极子的模式特征
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图1 五维规范场下杨单极子与规范场的相互作用。通过特殊的坐标系统选取，规范场总能被简化为两个处于相互垂直子空间中的磁场,以及两者外积构成的四阶张量场
事实上，当考虑系统与规范场的相互作用时，人们习惯于将三维空间中规范场对应的磁场考虑为“矢量场”。在多个外界磁场共同作用下，矢量的特征导致系统只能有效地感受到一个总的外磁场。但是在五维空间中，磁场作为二阶张量场，并不能直接相加，其三维空间中的矢量性质源自于二阶张量场与一阶赝矢量场的霍奇对偶性，而五维空间中二阶张量场霍奇对偶的三阶张量场实则更难以处理。
该团队分析发现，在五维规范场下，杨单极子会同时感受到10个不同方向的二阶磁场张量,以及5个来自于不同磁场分量外积构成的四阶的张量场。研究团队通过严格的数学证明指出，特定坐标系统的存在使所有的15个外场等效为三个指向不同子空间方向的外场，如图1所示。这样的等价性使得系统地分析五维杨单极子与规范场的相互作用成为可能。
图2 规范场作用下外尔点和杨单极子的模式特征，主要展示了哈密顿量平方算符本征值所对应的超对称能级，以及规范场作用下拓扑保护的手征朗道零模式
通过分析哈密顿量平方算符的本征值，研究团队指出在和磁场的共同作用下，杨单极子会产生的朗道能级，其间隔和塞曼分裂项大小完全一致，展示出复杂的高度简并的超对称能谱特征，以及相应的无间隙朗道零模式。其结果类似于外尔点的情况，但高维空间旋转对称性赋予了复杂相互作用下系统更高的能谱简并度，如图2所示。研究团队进一步证明，杨单极子与规范场直接作用产生的手征零模式事实上是由四阶张量场诱导产生的，并且受到二阶陈拓扑数以及等价的嵌套威尔森循环拓扑数的保护。
（2）五维规范场下杨单极子手征零模式的实验验证
对于高维系统的实验测量首先要回答一个问题——“高维”来自于哪儿？毕竟，宏观的物理世界仅仅存在3个空间维度和1个时间维度。该团队早期工作指出电磁本构关系内部蕴含着高维的特征，光在满足全反对称电磁耦合本构关系的材料中传播时，材料中的双各项异性参数与动量在麦克斯韦方程中作用完全一致，可为光子提供额外的空间动量维度。
基于此，该团队基于特殊设计下结构角度参数与合成动量参数之间的对应，构造了非均匀的杨单极子超构材料，其中非均匀设置为杨单极子引入了两个非共面的外磁场，以及沿着均匀z方向的四阶张量场，如图3（a-c）所示。
图3 对应于特定规范场与杨单极子相互作用的非均匀杨单极子超构材料及其模式特征
如前所述，这样设置的三个指向不同子空间方向的外场，事实上对应于杨单极子和均匀外场相互作用下的最一般形式。理论计算表明，在这样的系统中存在局域于样品中心且具有特定偏振状态的朗道零模式，如图3(d-e)所示，因此可以通过偏振相关的场分布测量确定模式的存在。
基于理论设计，该团队制备了由160块PCB板构成的三维非均匀杨单极子超构材料，通过探针扫描测量了其内部的模式分布。在不同偏振的激励下，样品内部场分布、色散关系、以及整体透射率的测量结果表明：在等离子体共振频率附近，系统内部存在x偏振的模式，以及y偏振的禁带；而在其余频率下，不同偏振的行为基本一致，如图4所示。偏振的对比实验清晰地证实了杨单极子与规范场相互作用导致的朗道零模式的存在性。
图4 朗道零模式所对应的中心局域偏振模式的实验测量结果
该团队首次通过实验证实了高阶拓扑奇点与高维规范场相互作用导致的复杂拓扑现象，并探讨了利用高维高阶拓扑系统进行电磁调控的可能性。利用超构材料的设计灵活性和可调性，在高维平台中引入不同的人工规范场，可实现在超构材料中探索更奇妙的现象，包括但不限于量子振荡、虫洞效应，以及非阿贝尔规范场引起的其他效应。基于不同维度之间的联系，高维高阶拓扑的讨论也有助于实现特定的三维电磁调控，诸如单向拓扑光纤、涡旋腔等。
复旦大学马少杰青年研究员为文章第一作者，其中合作者包括香港大学王辰杰教授团队、香港科技大学贾宏伟博士、吉林大学毕宴钢副教授等。相关研究得到了香港研究资助局卓越学科领域计划，新基石研究员项目以及复旦大学科研启动经费的支持。
参考文献：
1、H. Jia, R. Zhang, W. Gao et al, Observation of chiral zero mode in inhomogeneous three-dimensional Weyl metamaterials, Science 363, 148 (2019).
2、S. Ma, Y. Bi, Q. Guo et al, Linked Weyl surfaces and Weyl arcs in photonic metamaterials, Science 373, 572 (2021).
